幼少期の音楽経験が皆無の身にとって、楽譜を見るたびに毎回気になっていたことがある。

 この最初に書いてある♯は何だ?


・スケールと調号

 ドレミファソラシ(CDEFGAB)のように7音からなる音階のうち、起点の音(ルート)からみて1オクターブ上の同じ音まで、それぞれ隣り合う音同士の差が、2-2-1-2-2-2-1(単位は半音)となっているものを、メジャー[major]スケール、ないしイオニアン[ionian]スケールという。Cから始まるCメジャースケールは、CDEFGABとなって、♯や♭がつかないシンプルな形になる。
 さて、このCメジャースケールを、Cではなくて、7半音上のGから始めてみると、GABCDEF♯になる。♯が一個ついてきたわけである。さらに7半音上のDから始めると、DEF♯GABC♯になって、もう一個♯がついてくる。この調子で、起点の音を7半音上げると構成音に♯が1個ずつ増えていくわけである。上の画像にある調号というのは、このついてきた♯どもをまとめて最初に書いてしまえという横着の結果生まれたものである。ここで疑問。
 

  • なんで♯が一個ずつ増えるのか?

 さらにこういう疑問も湧いてくる。

  •  そもそも1オクターブはなんで12半音なのか?
  •  どうしてピアノの白鍵と黒鍵はあの並びなのか?

・そもそも1オクターブはなぜ12半音なのか

 これに関しては遥かピタゴラスの時代までさかのぼる。すでにこのときには周波数比が単純な整数比であるときに音が調和して聞こえるということが知られていたようである。
 単純な整数比といってもどこまでが単純かは曖昧であるが、\(1:2\), \(2:3\), \(3:4\)が単純であることに異論はないであろう。周波数の比が\(1:2\)の音はオクターブないし完全八度、\(2:3\)の音は完全五度、\(3:4\)の音は完全四度と呼ばれて古くから文字通り完全なものとして用いられていたようである。
 さて、ピタゴラスは完全五度の音を繰り返し積み重ねることで音階を作ろうとした。つまり周波数を\(\frac32\)倍し続けた。これを(適宜1オクターブ下げつつ)12回繰り返すと、元の音と \(524288:531441\)\((=2^{19}:3^{12})\)の比にたどり着く。これは\(1:1.014\)くらいで、ほとんど\(1:1\)であるから、一巡したと思ってよいであろう、ということで1オクターブの中に12の音が生まれたわけである。これをピタゴラス音律という。実際には\(524288:531441\)は聴感上そんなに無視できる差ではないらしく、これを補正するために純正律や平均律といった調律が生まれていく。

・ピアノの鍵盤の並びはなぜあのようになっているのか

 完全五度上げるということは7半音上げることである。また1オクターブ下げるということは12半音下げることである。したがって、半音を単位として考えるなら、ある音(0)を基準として完全五度ずつ上げるという操作によって、0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0というサイクルができることになる。このサイクルの前半の7つに白鍵を、残りに黒鍵を割り当てると、0,2,4,6,7,9,11が白で、1,3,5,8,10が黒になる。つまり白黒白黒白黒白白黒白黒白の並びである。これはピアノの鍵盤の並びそのものである。実は連続する7か所に白鍵を割り当てれば全部同じ形になる。この「連続する7か所」こそが(ダイアトニック)スケールの構成音になるわけである。

・なぜ♯が一個ずつ増えるのか

 ここで冒頭の問いに帰ってくる。そして結論を先に言ってしまうと、スケールの構成音が7つだからである。
 上で挙げた0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0というサイクルの連続する7か所を括弧でくくって次のように書いてみよう。

[0→7→2→9→4→11→6]→1→8→3→10→5→0

 すでに述べた通り括弧で囲まれている部分がスケールの構成音である。さて、ここでルートを完全五度上げると、括弧が右に1つ移動する。あるいは、サイクルのすべての数字に7を足しても同じ結果になる。

0→[7→2→9→4→11→6→1]→8→3→10→5→0

 ここで注目すべきなのは、括弧が右に1つ移動したことで、左端の0が構成音から外れ、代わりに1が構成音に加わったところである。これはつまり、構成音のうち1つが半音上がったということに他ならず、言い換えれば、♯が1つ増えたということである。

 ではなぜ構成音が7つだとこのようになるのかといえば、このサイクルにおいて、0から数えて7個先に1が出てくるからである。つまり7の倍数のうち12で割って1余るのが、\(7\times7\)だから。数式で書くなら、\(7n\equiv1\quad(\!\!\!\mod12)\)を満たすような\(n\in\mathbb Z\)が、\(n=7\)だからである。五線譜やピアノを生み出した人がこれを知っていたかは知らないが、その背景にある原理はこの通りである。

・ペンタトニックというもう一つの解

 ところで、0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0というサイクルにおいて、11という音は0からみて半音下の音で、この11は0から数えて5個先にある。つまり7の倍数のうち12で割って11余るのは\(7\times5\)ということだ。数式にすれば、\(7n\equiv-1\quad(\!\!\!\mod12)\)を満たすような\(n\in\mathbb Z\)が、\(n=5\)ということになる。
 したがって、構成音が5つであるようなスケールは逆に、ルートが完全五度上がると♭が1つ増えるという性質を持つことになる。実際、CDEGAというペンタトニックスケールを完全五度上げると、GAC♭DEとなって確かに♭が1つ増える。実際アジア、アフリカ、南アメリカの広い地域においてペンタトニックスケールを用いた音楽がみられることからもその妥当性が伺えよう。逆に、そのような解でない6つの構成音をもつ六音音階などは、五音音階・七音音階と比較してあまり例がないようである(Wikipedia情報)。


 ピタゴラスが単純な整数比の音が調和することを発見したように、世界各地の人々も、整数論の音を聴いていたのかもしれない。

理系のための音楽理論 / 調号

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