自分用備忘録
・ガウス関数
$$f(x)=ae^{-b(x-c)^2} (a,b,c\in \mathbb R)$$の形をした関数をガウス関数というらしい。
\(x-c=\xi\) と置き換えれば、ガウス積分の公式より
$$\int^\infty_{-\infty} f(x)\mathrm dx=\int^\infty_{-\infty} ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi=a\sqrt{\frac \pi b }\quad \cdots (1)$$である。
・ガウス分布
確率密度関数が上記のガウス関数になる分布がガウス分布、いわゆる正規分布である。
確率密度関数であるので、区間\((-\infty,\infty)\)における積分値は\(1\)である必要がある。すなわち、(1)式より、\(\displaystyle a\sqrt{\frac \pi b }=1 \quad \cdots (2)\)である。
・期待値とか分散ってなんだったっけ
期待値\(\mu\)を$$\mu=\int^\infty_{-\infty} xf(x)\mathrm dx$$と定義するとき、分散\(\sigma^2\)は\((x-\mu)^2\)の期待値として定義される。すなわち、$$\sigma^2=\int^\infty_{-\infty} (x-\mu)^2f(x)\mathrm dx$$である。
・定数決定する
まず期待値から考えていく。先ほどと同様に\(x-c=\xi\) と置き換えれば、
$$\begin{eqnarray*}\mu&=&\int^\infty_{-\infty} (\xi+c)ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi\\
&=&\int^\infty_{-\infty} \xi ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi+\int^\infty_{-\infty} cae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi\end{eqnarray*}$$
となるが、第1項は奇関数と偶関数の積なので積分値は\(0\)である。したがって第2項のみ計算すればよく、これは公式から直ちに\(\displaystyle ca\sqrt{\frac \pi b }\) となるけれど、(2)式より\(\displaystyle a\sqrt{\frac \pi b }=1\) なので、結局\(\mu=c\) である。
よって、分散は$$\sigma^2=\int^\infty_{-\infty} \xi^2ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi$$となるので、部分積分していくと
$$\begin{eqnarray*}\sigma^2&=&\int^\infty_{-\infty} \xi\cdot\xi ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi\\
&=&\left[-\frac{\xi}{2b} ae^{-b\xi^2}\right]^\infty_{-\infty}+\int^\infty_{-\infty} \frac{1}{2b}ae^{-b\xi^2}\mathrm d\xi\end{eqnarray*}$$となるのだが、ここで第1項が\(0\)に収束するのは自明で良いだろう。よって結局第2項のみが残って、これは公式から直ちに\(\displaystyle\frac 1{2b}a\sqrt{\frac \pi b}\)である。
ここでまた(2)式を使えば、\(\displaystyle\sigma^2=\frac 1 {2b}\Leftrightarrow b=\frac 1 {2\sigma^2}\)が得られ、ゆえに\(\displaystyle a=\frac 1 {\sigma\sqrt{2\pi}}\)となる。
以上のことから、期待値が\(\mu\)で分散が\(\sigma^2\)であるような正規分布の確率密度関数が$$f(x)=\frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$で表せることが示された。