流体内で物体が受ける抵抗力は2つ、粘性抵抗と慣性抵抗。

粘性抵抗

表面積S、剪断応力をτとすると、粘性抵抗Fは
\(F=\tau S\)となる。ただし \(\displaystyle \tau =\eta \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^n\approx\eta\left(\frac{v}{y}\right)^n\) (クエット流れ)。
ニュートン流体ではn=1、ダイラタント流体ではn>1。当然vが十分大きければ \(\displaystyle\left(\frac{v}{y}\right)^n>\frac{v}{y} \)なので下限値としてニュートン流体の計算に逃げられる。

慣性抵抗

表面積Sの物体がΔtの間に進行方向の流体を押しのけるのに必要な力の反作用。
Δtの間に押しのける流体の体積は\(Sv\Delta t\)、質量は \(\rho Sv\Delta t\)。
これをvまで加速したときの運動量の変化量は\(\rho Sv^2\Delta t\)。
これがΔtの間に与えた力積と等しいので、\( F\Delta t=\rho Sv^2\Delta t\)
すなわち、\(F=\rho Sv^2\)
明らかにダイラタント流体のρは大抵のニュートン流体のそれより大きいのでこれもニュートン流体を下限値として逃げられる。

ニュートン流体内で抵抗力を受けながら運動する物体の速度


速度v >0で運動し、抵抗力 \( F=av^2+bv\;\;(a,b>0,\;a,b=\mathrm{const.})\)を受けている物体の運動方程式は$$ \displaystyle av^2+bv=-m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$$すなわち $$ \displaystyle \frac{m}{av^2+bv}\mathrm dv=-\mathrm dt$$ であるから、両辺を積分すると $$ \displaystyle m\int\frac{\mathrm dv}{av^2+bv}=-\int \mathrm dt $$となる。ここで、 $$ \displaystyle \frac{1}{av^2+bv}=\frac{1}{b}\left(\frac{1}{v}-\frac{a}{av+b}\right)$$ であるから$$ \displaystyle \frac{m}{b}(\log|v|-\log|av+b|)=-t+C$$ となる。ここで表記の簡略化のため \(\displaystyle\frac{b}{m}=k \)とおく。すると、v, a, b>0より、$$ \displaystyle \log\left(\frac{v}{av+b}\right)=-kt+C^\prime$$ 対数を元に戻して $$ \displaystyle \frac{v}{av+b}=e^{-kt+C^\prime}$$
これをvについて解けば、$$ \displaystyle v=\frac{be^{-kt+C^\prime}}{1-ae^{-kt+C^\prime}}$$ となる。
k >0より\( \displaystyle \lim_{t\to\infty}v=0\)なのでそこそこ納得のいく結果ではないか?

これでvを上から抑えることができたのであとは初期条件の設定やら物性値を代入やらすれば十分に減速するのに必要な時間が出るはずである。ただ評価がガバガバなので、「使える」値は出ない気がする。

流体にいろいろする覚書

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